8 Mayıs 2013 Çarşamba

Doğada Matematik

DOĞADA MATEMATİK Doğa yalnızca gördüklerimiz duyduklarımız kokladıklarımız değildir. Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldarlar. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Rakamları hangi sistemde grafiğe dökerseniz dökün bir şablon çıkar. Bu yüzden doğada her yerde şablonlar vardır. Kısacası 
1) Matematik doğanın dilidir. 
2) Etrafımızdaki her şey sayılarla tanımlanabilir ve anlaşılabilir.



DOĞADAKİ MATEMATİK -1
Eşkenar üçgen ve kar tanesi 
Bir eşkenar üçgenin her kenarının ortasındaki üçte birlik kısmı alın. Bunlarla şekildeki gibi yenibir üçgen oluşturun. Yeni üçgen şekil olarak aynı ve büyüklük olarak ilkinin üçte biri kadardır. Böylece devam edildiğinde ideal bir kar tanesi elde edersiniz. 

Bir sığırın canlı ağırlığı 
Bir sığırın canlı ağırlığını bulmak için göğüs çevresinin karesi ile vücut uzunluğu ve 875 kat sayısı çarpılır. 

P= c2.h.875
(C: Göğüs çevresi h: vucut uzunluğu p: sığırın canlı ağırlığı.) 

Çır çır böceği ile hava sıcaklığı arasındaki ilişki 
Çır çır böceğinin sesleri ile hava sıcaklığı arasında bir ilişki vardır. Dolayısıyla hava sıcaklığını aşağıdaki formül ile fahranayt cinsinden bulabiliriz. 

T= 03.N+40
(T: hava sıcaklığı N: çırçır böceğinin bir dakikada çıkardığı ses sayısı)

Doğadaki her şeyin birbirleriyle ilişkisi 
Bir gölün alanını bulma ile bir taşın yukardan düşme hızı arasında bir ilişki olabileceği çoğumuzun aklına gelmez. Böyle bir ilişkinin varlığını matematik ile anlayabiliyoruz. Gölün alanı integralle taşın düşme hızı türev ile bulunur. Türev ise integralin tersidir. 

Köpeklerin en uygun yolu seçmesi 
Matematikçi Tim Pennings 2003 yılında yayımlanan makalesiyle köpeği Elvis'in matematiksel analiz yaptığını dünyaya duyurmuştu. Suya atılan topun peşine düşen Elvis çoğu zaman önce kumsal boyunca biraz koşup daha sonra suya dalarak en kısa sürede topa ulaşıyordu. Suda farklıkarada farklı hızla ilerleyebilen köpek A noktasından B noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için hangi noktada suya girmesi gerekiyorsa o noktada suya atlıyordu.

                                                    Doğadaki Matematik -2

Gezegenler ve matematik    
Her gezegen odaklarından birinde güneşin bulunduğu eliptik yörüngede hareket eder ve gezegeni güneşe birleştiren çizgi  eşit zamanlarda eşit alanlar tarar. Gezegenlerin yörüngelerinin ortalama yarıçapları yani herhangi bir gezegenin güneşe olan uzaklığı R ve yörüngedeki dönme periyotları T olmak üzere R³/T² oranı bütün gezegenler için aynıdır. Daha da önemlisi bu ilişkinin ileride Newton’ un formüle edeceği yerçekimi yasasına sağladığı ipucudur. Oysa Kepler bu buluşuna arayış içinde olduğu “kürelerin müzikal uyumunun” formülü gözüyle bakıyordu. 

Arşimed spirali ve örümcek ağı
Bu spirali Arşimed keşfettiği için Arşimed spirali olarak bilinir. Örümceğin merkezden başlayarak eşit uzaklık ve sürekli bir çizgi ile ördüğü ağ bu spirale iyi bir örnektir. 

Arılar ve altıgen
Arılar peteklerini birim alanının tamamen kullanılması ve en az malzemeyle petek yapılması için altıgen şeklinde yapmaktadırlar. Ayrıca dişi bal arılarının yaptıkları petek gözeneklerinin açısı 70 derece 32 dakikadır.

Karıncalar ve vektörler
Sahra çölü karıncaları yön bulmada yol entegrasyon sistemini kullanırlar. Bu sistemde karıncayuvadan çıktıktan sonra yaptığı yürüyüş ve dönüş hareketlerinin toplamını yuvaya olan uzaklığını hesaplamak için kullanır. Karınca yuvasına olan mesafeyi küçük segmentlere böler; her bir segment uygun yön ve uzaklık vektörünü taşır. Bu vektörlerin toplamıyla yuvanın uzaklık ve yönünü veren 'homing vektörü' elde edilmiş olur.


                                         Doğadaki Matematik-3 (Pi Sayısı)

Bütün çember şeklindeki şekillerin çevre uzunluğunu çapına (kalınlığına) böldüğümüzde pi sayısını elde ederiz. Pi sayısın basamaklarında hep bir ilişki aranmıştır. Örneğin:

Pi sayısının sonsuza kadar devam eden basamaklarında 360. sırada 360 sayısı bulunmaktadır.
Pi sayısının ilk 144 basamağının toplamı 666 ya eşittir. 144 ise (6+6)*(6+6) ya eşittir.

Pi Sayısı ve Doğa

Atmosferik basınç ve pi Sayısı
Atmosferik basınç sayısı P= 0101325 dir. P nin karekökünü alıp 1’e böldüğümüzde Pi sayısını yaklaşık olarak bulabiliyoruz.
Filin yüksekliği ve pi sayısı
Bir filin ayağı daire şeklindedir ve ayağının çapını ölçüp 2 ile çarptığınızda filin yüksekliğini tahmin edebiliriz.


Pİ SAYISININ TARİHSEL GELİŞİMİ
ESKİ YUNAN'DA Pİ SAYISI

Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. 
Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 
3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu 
iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak 
Archimedes'in gençlik yıllarında Mısır'da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte. 
Archimedes'in sağlığında İskenderiye'de Öklid den ders aldığı, Öklid'in de Eski Mısır ve 
Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir 
gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, Metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 
3,71'dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron'dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ 
matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron'un verdiği 
yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar'dan alınma takribi 
bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.
MEZOPOTAMYALILAR'DA Pİ SAYISI
Pi sayısı üzerinde, Babilliler'in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye 
sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak p=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde 
p=3,125 değerine de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, "Mezopotamyalılar’da, 
idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen 
problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur" der. Böyle 
problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık 
sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; 
Mısırlılarınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin 
Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, 
silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını 
belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul 
edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır. 
Bugün bir veya çok bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden birçok problemlere 
Babil tabletlerinde rastlanmıştır. Mesela: Bu tablette, bir dikdörtgenin eniyle boyunu veren 
sayılar birbiriyle çarpılır ve bu sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor. 
Aynı sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor. Bu şeklin eni, boyu ve yüzölçümü nedir sorusu 
soruluyor ve cevap olarak: 20, 7 ve 140 değerleri veriliyor. 
Pİ SAYISININ 1000 BASAMAKLI AÇILIMI
3,141592653589793238462643383279502884197169399375 1058209749445
92307816406286208998628034825342117067982148086513 2823066470938
44609550582231725359408128481117450284102701938521 1055596446229
48954930381964428810975665933446128475648233786783 1652712019091
45648566923460348610454326648213393607260249141273 724587006606
31558817488152092096282925409171536436789259036001 1330530548820
46652138414695194151160943305727036575959195309218 6117381932611
79310511854807446237996274956735188575272489122793 8183011949129
83367336244065664308602139494639522473719070217986 0943702770539
21717629317675238467481846766940513200056812714526 3560827785771
34275778960917363717872146844090122495343014654958 5371050792279
68925892354201995611212902196086403441815981362977 4771309960518
70721134999999837297804995105973173281609631859502 4459455346908
30264252230825334468503526193118817101000313783875 2886587533208
38142061717766914730359825349042875546873115956286 3882353787593
75195778185778053217122680661300192787661119590921 64201989...                                TÜRK-İSLAM DÜNYASI'NDA Pİ SAYISI
15. yüzyıl Türk - İslam Dünyası ünlü matematik ve astronomi alimi, Giyasüddin Cemşid, pi 
sayısının değerini, 16 ondalığa kadar doğru olarak hesaplayan ilk kişidir. Cemşid'in pi için 
verdiği değer p=3,1415926535898732 dir. 15. yüzyılda, pi sayısının, ancak 6. ondalığına 
kadar olan değeri bilinmiş olduğuna, 16. ondalığa kadar doğru değerin de, batı bilim 
dünyasında, Hollandalı matematikçi Adriaen van Rooman tarafından, doğru olarak 
hesaplandığına göre, Gıyasüddin Cemşid'in bu konuda da, zamanının matematiğinden 200 
yüzyıl ileride olduğu ortaya çıkmaktadır.
                                          Doğadaki Matematik-4 (e sayısı ve doğa)
1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + ... + (1/n!)
serisinin toplamı "e" sayısını verir. Değeri:
e = 2.71828182... dir. Matematikteki üç ünlü sayıdan biridir. Diğer ikisi pi ve i sayılarıdır ve kendi aralarında çok güzel bir harmoni oluştururlar yani
e i.pi =-1
Matematik ve Hayal kitabında bu formül için şöyle yazar: “Zarif kısa ve anlam dolu. Uygulamalarının ise sonu gelmiyor”. Matematikçi B.Peirce ise şöyle demişti: “Ne demek istiyor bilmiyoruz. Fakat onu kanıtladık”.
Ayrıca e sayısının ilk altı basamağının pi sayısının basamaklarında şu ana kadar sekiz kez tekrar ettiği bulunmuştur.
Doğada pek çok faaliyet e sayısındaki karekteristiğe sahiptir. Örneğin böcek bilimcisi J.H.Fabre Örümceğin Hayatı kitabında sisli sabahlarda örümcek ağlarının su damlacıkları ile yüklenerek yanar döner elmasları andıran zincir eğrileri çizdiğini anlatır ve şöyle der: “... ve bu ağların şanını e sayısı oluşturuyordu”. 

                                         Doğadaki Matematik-5 (Fibonnaci Sayısı ve Doğa)

Bu sayı 1'den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir. Yani 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233.... şeklinde ilerlemektedir.
Fibonnaci sayısı pascal üçgeninden de elde edilebilir. Pascal üçgenin köşegenlerindeki sayıları topladığınızda Fibonacci serisini görebiliriz.

Papatyalar ve Fibonnaci sayısı


Papatyalar büyürken her dal Fibonacci serisine uyarak yükselmektedir.

Işığın yansıması ve Fibonnaci sayısı

Birbirine yapışık iki tabaka camda ışığın yansıması için şu kural vardır:

1.kere yansıması 2 biçimde
2.kere yansıması 3 biçimde
3.kere yansıması 5 biçimde…

Bunlar Fibonnaci sayılarıdır.

                                        Doğadaki Matematik-6 (Altın Oran ve Doğa)

Altın Oran pi sayısı gibi irrasyonel bir sayıdır. PHI (Fi) ile gösterilir. Göze en hoş gelen en estetik oran olduğundan bu isim verilmiştir. Bu sayı = 1.618033988.... şeklinde sonsuza kadar devam eder. Doğada pek çok yapı altın oranı içerir.


DNA ve altın oran

DNA molekülü tüm yaşamın programını taşımaktadır. Temelinde de altın oran bulunmaktadır. Her tam turunda 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğindeki çift heliks spiral yapısı ile altın oranı bünyesinde bulundurmaktadır ve 34/21= 1.619 sayısını vermektedir.


Kar kristali ve altın oran

Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda çeşitli uzantıların oranı altın oranı verir.
                                     Doğadaki Matematik -7 ( İnsan Vücudu ve Matematik )

Üst çene ve altın oran

İdeal üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır.

Kollar ve altın oran

İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır (üst bölüm ve alt bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

İnsan boyu ve altın oran

insanın boy ölçüsünün göbek boyuna oranı yaklaşık olarak altın oran çıkmaktadır. Bir insanın boyuna x diyelim. Göbek deliğinden yere olan yüksekliğe ise y diyelim. x/y=1.618 dir. Yani altın oran.

Ayak boyu

Bir insanın el bileği ve dirseği arasındaki mesafe o kişinin ayak boyuna eşittir.

Kulaç mesafesi boy uzunluğuna eşit

Kollarınızı sağa ve sola açtığınızda iki uç nokta arasındaki mesafe boyumuzun uzunluğuna eşittir.

Kalp şekli ve koordinatlar

Denklemlerin polar koordinatlarda gösterilmesi sayesinde pek çok ilginç şekil elde edilebilir. Bu şekilde oluşturulan şekillerden birisi de 'kalp'tir. Kalp şeklini elde etmek için kulanılabilecek en basit denklem

r=b+a*cosV

dir. Bu kalp şekli aynı zamanda cardioid olarak da bilinir.

6 yorum: